A06【项目管理】计算题专项：从原理到解题

计算题考点与失分点

软考中项的计算题，几乎全部集中在五个地方：进度（关键路径、三点估算）、成本（挣值）、风险（决策树 EMV）、沟通（渠道数）、采购（合同与自制外购）。题型固定，但每年换数字。

计算题失分多在三个地方：公式记混、题意理解偏了、算完没回头验证。这份材料按这三件事组织：

计算题在整张卷子里是确定性得分——答案唯一，不像案例分析和论文那样有主观空间，所以这部分投入产出比最高。

一、进度计算：关键路径法

这是软考计算题的核心，案例大题基本每年都有一道。核心只有一件事：在”活动有先后依赖”的约束下，算出项目最短要多久，以及每个活动有多少缓冲余地。

1. 关键路径是最长路径的推导

关键路径是最长路径，这个结论可以从两条约束推出来：

项目里所有活动必须全部完成项目才算结束。任取一条从起点到终点的路径，这条路径上的活动必须一个接一个做完，所以项目总工期不可能短于这条路径的长度。既然对所有路径都成立，那么：

项目工期 ≥ max（每条路径的长度）
这是下界——不可能比最长的路径更短

而另一方面，如果我们让每个活动都尽可能早开始（只要它的前置活动都完成了就立刻开工），项目的完工时间恰好等于最长路径的长度。上界和下界重合，于是：

项目最短工期 = 最长路径长度
这条最长路径就叫关键路径，它上面的活动就是关键活动

这个推导的用处
当题目问”关键路径变了没有”，你不需要重新算六参数，只要看哪条路径最长。当题目说”某活动延误了，关键路径会不会转移”，判断依据也是：有没有另一条路径变得比原来那条更长。

由此也能直接理解：关键路径可能不止一条（两条路径一样长），而且关键路径会随进度变化而转移（原来的次长路径因延误变长，就成了新的关键路径）。

2. 六个参数的两趟推导

四个时间参数靠两趟推导：正推求”最早”，逆推求”最迟”。

正推：从起点往终点走

ES = max（所有紧前活动的 EF）
一个活动必须等它所有的前置活动都完成才能开始，所以取”最晚完成的那个”，即最大值。起点活动 ES = 0。

EF = ES + 工期
最早完成 = 最早开始 + 干多久

逆推：从终点往起点走

LF = min（所有紧后活动的 LS）
一个活动必须在它的每一个后续活动”最迟可以开始”之前完成，所以要取最早的那个约束，即最小值。终点活动 LF = 项目工期。

LS = LF − 工期

为什么一个取 max、一个取 min
正推时，”开始”要满足所有前置条件，是”都满足了才能动”，所以取最晚满足的那个（max）。
逆推时，”完成”要满足所有后续要求，是”哪个催得最急就按哪个”，所以取最早催的那个（min）。
判断依据是”都满足 / 最急的“，方向就不会弄反。

两个浮动时间：含义完全不同

总浮动时间 TF = LS − ES = LF − EF
在不影响项目总工期的前提下，这个活动可以拖多久

自由浮动时间 FF = min（紧后活动的 ES）− 本活动的 EF
在不影响任何紧后活动最早开始的前提下，这个活动可以拖多久

两者的关系：FF ≤ TF。因为”不影响别人”比”不影响总工期”要求更严。一个活动可以拖延很久但不影响总工期（TF 大），却可能一拖就害得下一个活动没法按时开工（FF = 0）。

例 1｜完整网络图计算：工期、关键路径、六参数

某项目共 6 个活动，依赖关系与工期如下（单位：天）：
A 无前置，工期 3；B 前置 A，工期 4；C 前置 A，工期 6；D 前置 B，工期 5；E 前置 C，工期 4；F 前置 D、E，工期 2。
求：项目最短工期、关键路径、各活动的总浮动时间与自由浮动时间。

图：已填好六参数的网络图

解题过程

1. 先列所有路径，直接看出关键路径。
   A→B→D→F：3+4+5+2 = 14
   A→C→E→F：3+6+4+2 = 15
   最长是 15，所以项目最短工期 15 天，关键路径 A→C→E→F。
   路径少的时候，这一步比走六参数快得多，也顺手验证了后面的结果。
2. 正推求 ES / EF。
   A：ES = 0，EF = 0+3 = 3
   B：ES = A 的 EF = 3，EF = 3+4 = 7
   C：ES = 3，EF = 3+6 = 9
   D：ES = B 的 EF = 7，EF = 7+5 = 12
   E：ES = C 的 EF = 9，EF = 9+4 = 13
   F：ES = max(D 的 12, E 的 13) = 13，EF = 13+2 = 15
   算完 EF 最大是 15，正好等于路径法得到的 15，两者对上说明没算错。
3. **逆推求 LS / LF。**令 F 的 LF = 15。
   F：LF = 15，LS = 15−2 = 13
   D：LF = F 的 LS = 13，LS = 13−5 = 8
   E：LF = 13，LS = 13−4 = 9
   B：LF = D 的 LS = 8，LS = 8−4 = 4
   C：LF = E 的 LS = 9，LS = 9−6 = 3
   A：LF = min(B 的 4, C 的 3) = 3，LS = 3−3 = 0
4. 算浮动时间。
   TF = LS − ES：A 0，B 4−3=1，C 0，D 8−7=1，E 0，F 0
   FF = min(紧后 ES) − 本活动 EF：
   A：min(3,3) − 3 = 0　B：7 − 7 = 0　C：9 − 9 = 0
   D：13 − 12 = 1　E：13 − 13 = 0　F：15 − 15 = 0

**答案：**工期 15 天；关键路径 A→C→E→F；关键活动 A、C、E、F 的 TF 均为 0；B 的 TF = 1、FF = 0；D 的 TF = 1、FF = 1。

注意 B 这个活动
B 的 TF = 1 但 FF = 0，这是最容易被忽略的组合。含义是：B 拖延 1 天不会让整个项目晚交（总工期还有 1 天余量），但它一天都不能拖再拖就会推迟 D 的最早开始。这类活动叫”次关键活动”，案例题里常问”哪些活动延误会影响后续活动”。

3. 工期压缩：不是压最长的就行

题目要求”把工期从 15 天压到 13 天，成本最低”，考的是赶工（Crashing）。逻辑链条是这样的：

• 要缩短总工期，只能缩短关键路径——压非关键活动对总工期毫无影响，因为总工期由最长路径决定。
• 关键路径上可能有很多活动，优先压单位时间成本最低的那个（成本斜率 = 赶工成本 ÷ 可压缩天数）。
• 每压一天，必须重新检查关键路径有没有变。因为原关键路径变短后，次长路径可能变成新的关键路径，此时再压原来的活动就白花钱了。
• 一旦出现多条关键路径，要同时压缩每一条（每条各压一天），否则总工期不会变，成本却翻倍。

例 2｜赶工决策：压到 13 天的最低成本

承接例 1，关键路径 A→C→E→F 共 15 天，次长路径 A→B→D→F 共 14 天。各活动的可压缩天数与赶工成本如下。若要求 13 天完工，最低赶工成本是多少？

解题过程

1. **关键路径上按成本从低到高排：**A(2) < C(3) < E(5) < F(8)。B、D 不在关键路径上，先不考虑。
2. 压 A 一天（花 2 万）。关键路径 15→14。
   此时检查次长路径：A→B→D→F 原为 14，A 也在这条路径上，所以同步变成 13。
   两条路径分别是 14 和 13，关键路径仍是 A→C→E→F，没变。
3. 再压一天，选 C（花 3 万，A 已压到上限）。关键路径 14→13。
   此时 A→B→D→F = 13，A→C→E→F = 13，两条路径同时成为关键路径。
4. **目标达成，停止。**累计 2 + 3 = 5 万。

**答案：**压 A 一天、C 一天，总成本 5 万元，工期降至 13 天。
延伸：若要求 12 天，就必须同时压缩两条关键路径。可选组合是「C 再压 1 天 + D 压 1 天」＝ 3 + 6 = 9 万，或「E 压 1 天 + B 压 1 天」＝ 5 + 4 = 9 万，两者相同，此时成本从 5 万涨到 14 万——每多压一天，边际成本陡增，这正是”压到一定程度就不划算”的数学来源。

这里最容易错

• 压完不检查关键路径是否转移，继续压原活动——白花钱，工期不动。
• 出现两条关键路径后只压一条，以为工期会缩短。
• 去压非关键活动（如 B、D），对总工期完全无效。

二、进度计算：三点估算与概率

当工期不确定时，用”乐观、最可能、悲观”三个估计值，推出一个期望工期和一个波动范围，再据此算”按期完工的概率”。这部分考的是公式套用加一点正态分布常识。

1. 三个公式的构成

期望工期 tE = (O + 4M + P) / 6
O 乐观、M 最可能、P 悲观。分母 6 = 1+4+1，即三个估计值的加权平均

标准差 σ = (P − O) / 6
用乐观与悲观的差距衡量不确定性，除以 6 是因为正态分布约 99.7% 落在 ±3σ 内

方差 σ² = [(P − O) / 6]²

为什么 M 的权重是 4
三点估算假设工期服从一个单峰的偏态分布（β 分布），最可能值 M 是峰值所在，可信度最高；O 和 P 是两端的极端情况，出现的可能性低。用 1:4:1 的权重，既让 M 主导结果，又不完全忽略两端——这是”加权平均”的直观体现。

也正因为权重是 1:4:1，tE 一定落在 O 和 P 之间，且离 M 更近。做题时可以用这个性质快速检查算错没有。

2. 多条路径的合成：方差相加，不是标准差相加

这是本节唯一的难点，也是失分点。当一条路径由多个活动串联组成时：

路径期望工期 = 各活动 tE 之和
期望值可以直接相加

路径方差 = 各活动 σ² 之和
注意是方差相加

路径标准差 = √(各活动 σ² 之和)
最后开根号，才得到标准差

为什么不能直接把标准差相加
标准差是”开了根号”的量，不能线性叠加；能叠加的是方差（标准差的平方）。
直观理解：多个独立的不确定性叠加时，有的偏大有的偏小，会互相抵消一部分，所以总波动小于各自波动之和。数学上，独立随机变量之和的方差等于方差之和，这条性质决定了必须”先平方、相加、再开方”。

如果直接把 σ 相加，答案会系统性偏大，后面查概率就会偏小。这是最典型的错误。

3. 算概率：只需要记住三个区间

假设工期服从正态分布，落在各区间内的概率是固定的：

图：正态分布下的三个关键概率区间

怎么用
z = (要求工期 − tE) / σ。算出 z 后对照上表。考题一般只设计成 z = 0、±1、±2、±3 这几种整齐值，很少需要查完整的正态分布表。
如果 z 算出来是 1.5 这类数，说明题目可能给了分布表，或者实际在考”落在某区间内的概率”（用两个累计值相减）。

例 3｜单活动三点估算

某活动乐观估计 3 天，最可能 6 天，悲观 15 天。求期望工期、标准差，以及该活动在 10 天内完成的概率。

解题过程

1. tE = (3 + 4×6 + 15) / 6 = (3 + 24 + 15) / 6 = 42 / 6 = 7 天
   检查：7 确实落在 3 和 15 之间且靠近 6，合理。
2. σ = (15 − 3) / 6 = 12 / 6 = 2 天
3. z = (10 − 7) / 2 = 1.5。
   1.5σ 不在标准值上，用 1σ 和 2σ 夹逼：84.13% < 概率 < 97.73%，大致在 93% 左右。

**答案：**tE = 7 天，σ = 2 天，10 天内完成概率约 93%（严格值 93.32%）。

例 4｜路径合成 + 概率（考点核心）

某关键路径由三个活动串联组成，各活动三点估计如下。求整条路径的期望工期与标准差，以及项目在 23 天内完工的概率。

解题过程

1. 逐个算 tE 和 σ：
   A：(3+24+15)/6 = 7，σ = (15−3)/6 = 2
   B：(2+20+8)/6 = 5，σ = (8−2)/6 = 1
   C：(4+28+16)/6 = 8，σ = (16−4)/6 = 2
2. **期望工期相加：**7 + 5 + 8 = 20 天
3. **方差相加再开方：**σ² = 4 + 1 + 4 = 9，σ = √9 = 3 天
   如果错误地把标准差相加，会得到 2+1+2 = 5，后面的概率就会严重偏低。
4. **算 z：**z = (23 − 20) / 3 = 1
5. z = 1 对应概率 84.13%。

**答案：**期望工期 20 天，标准差 3 天，23 天内完工概率 84.13%。
**顺带能答的追问：**26 天内完工 → z = 2 → 97.73%；17 天内完工 → z = −1 → 15.87%；若要求 95% 把握完工，需预留约 20 + 1.65×3 ≈ 25 天。

三点估算的坑

• 标准差直接相加——必须先平方求和再开方，这是最高频错误。
• 只算关键路径的方差：如果题目给出多条路径，不确定性最大的路径可能不是期望工期最长的路径。严谨做法是对每条路径都算，取”概率意义下的关键路径”。
• 把 tE 当成”一定能在 tE 内完成”：tE 对应的概率只有 50%，正好一半一半。

三、成本计算：挣值分析

挣值是软考最稳定的计算考点，几乎每年案例大题必有一问。公式不多，但初学者常年在 CV、SV 的正负号和 CPI 的分子分母上打转。根源在于没搞清三个量的定义。

1. 三个量各自的含义

先看三个英文全称，它们的信息量比中文译名大得多：

最关键的一点
EV 和 PV 都用”预算单价”，只有 AC 用”实际单价”。

假设 EV 也用实际价格计算。那么 EV 就等于 AC 了——你花了 100 万，完成的活就”值” 100 万，永远不会有偏差。这样一来，”活干得少”和”东西买贵了”两种情况就混在一起，完全分不清。

统一用预算价折算，EV 才纯粹反映工作量：
· EV 和 PV 比 → 只差在”工作量”，比出来是进度问题
· EV 和 AC 比 → 工作量相同，差在”单价”，比出来是成本问题

这就是为什么两个偏差公式看起来对称，却分别指向进度和成本。

2. 两个偏差、两个指数

CV 成本偏差 = EV − AC
同样这些活，预算认为值 EV，实际花了 AC。差值为正 = 花得比预算少 = 节约

SV 进度偏差 = EV − PV
计划该完成 PV，实际只完成 EV。差值为正 = 干得比计划多 = 提前

CPI 成本绩效指数 = EV / AC
每花 1 元钱，挣回多少元的预算价值。>1 说明”买得便宜”

SPI 进度绩效指数 = EV / PV
每计划 1 元的活，实际干了多少。>1 说明”干得快”

正负号不用背
只要记住一句话：“EV 是实际做到的，另一个是比较基准。”
· 跟成本比，基准是 AC（花了多少）→ EV − AC
· 跟进度比，基准是 PV（该做多少）→ EV − PV

EV 永远在前（减法的被减数、除法的分子），因为它是”我实际挣到的”。另一个位置放谁，就决定了在衡量什么。分子永远是 EV，这是从定义直接推出来的。

图：挣值三条曲线。看 EV 与谁的距离，就知道哪方面出了问题

3. 预测完工的三种情形

预测类公式（EAC、ETC、VAC、TCPI）看着多，主线只有一条：剩下的活要花多少钱。而”剩下的活值多少”是确定的（BAC − EV），不确定的只是”未来效率如何”。三种情形就是对未来的三种假设。

情形一：非典型偏差　EAC = AC + (BAC − EV)
假设：目前的偏差是偶发事件，未来会恢复正常，剩余工作按原预算价完成。ETC = BAC − EV

情形二：典型偏差　EAC = BAC / CPI
假设：偏差是系统性的，未来仍保持当前效率。这是考试默认情形

情形三：进度也影响成本　EAC = AC + (BAC − EV) / (CPI × SPI)
假设：成本和进度双双失控，剩余工作既慢又贵。教材正文只给了情形一和情形二两条公式，情形三是通用补充，题干明确提到”进度也影响成本”时才用

情形二那个除法是怎么来的
CPI 的含义是”每花 1 元，能挣回 CPI 元的预算价值“。效率保持不变时，把需要的钱记作 X：

X × CPI = BAC　→　X = BAC / CPI

凡是”总量 ÷ 效率”的结构，都是这个道理：总工作量除以单位投入的产出率，得到总投入。预测工期 = 计划工期 / SPI 也是同一个逻辑，总工作量除以单位时间的产出率。

ETC 完工尚需估算 = EAC − AC
总共还要花多少 = 最终总共要花 − 已经花了

VAC 完工偏差 = BAC − EAC
最终会超支还是节约。为负 = 超支

TCPI 完工尚需绩效指数 = (BAC − EV) / (BAC − AC)
剩余工作量 ÷ 剩余预算。>1 表示剩余的钱不够干剩余的活，必须提高效率

TCPI 的分子分母
分子 (BAC − EV) 是还剩多少活（按预算价）；分母 (BAC − AC) 是还剩多少钱。两个一除，就是”以后每 1 元钱必须干出多少活”。
如果 TCPI > 1，说明按原预算已经不可能完成，除非效率比现在更高——而现实中效率往往只会持平或更低，所以 TCPI 明显大于 1 时，实务上通常意味着必须申请追加预算或缩减范围。

例 5｜挣值全套计算（案例题标准形态）

某系统集成项目总预算 BAC = 1200 万元，计划工期 12 个月。项目进行到第 6 个月末时统计：按计划应完成 50% 的工作，实际只完成 40%；已发生实际成本 600 万元。
求：(1) PV、EV、AC；(2) CV、SV、CPI、SPI 并判断状态；(3) 若偏差将持续，求 EAC、ETC、VAC 及预测工期；(4) 若剩余工作恢复正常效率，求 EAC；(5) 按原预算完工的 TCPI。

解题过程

1. 先把三个量翻译成数字。
   PV = 计划完成比例 × BAC = 50% × 1200 = 600 万
   EV = 实际完成比例 × BAC = 40% × 1200 = 480 万
   AC = 600 万（题目直接给出）
   注意 EV 用的是 BAC 乘以完成比例，也就是预算单价，不是实际花的钱。
2. 偏差与指数。
   CV = EV − AC = 480 − 600 = −120 万　→ 负值，成本超支
   SV = EV − PV = 480 − 600 = −120 万　→ 负值，进度落后
   CPI = EV / AC = 480 / 600 = 0.8　→ 小于 1，每花 1 元只挣回 0.8 元
   SPI = EV / PV = 480 / 600 = 0.8　→ 小于 1，只达到计划的 80%
3. 典型偏差预测。
   EAC = BAC / CPI = 1200 / 0.8 = 1500 万
   ETC = EAC − AC = 1500 − 600 = 900 万
   VAC = BAC − EAC = 1200 − 1500 = −300 万（预计超支 300 万）
   预测工期 = 计划工期 / SPI = 12 / 0.8 = 15 个月
4. 非典型偏差预测。
   ETC = BAC − EV = 1200 − 480 = 720 万
   EAC = AC + ETC = 600 + 720 = 1320 万
   VAC = 1200 − 1320 = −120 万
5. TCPI。
   TCPI = (BAC − EV) / (BAC − AC) = (1200 − 480) / (1200 − 600) = 720 / 600 = 1.2

答案：CV = −120 万、SV = −120 万，项目成本超支且进度落后；CPI = SPI = 0.8；典型偏差下 EAC = 1500 万、ETC = 900 万、VAC = −300 万、预计 15 个月完工；非典型偏差下 EAC = 1320 万；TCPI = 1.2，意味着剩余阶段每花 1 元必须干出 1.2 元的活，难度较大，需采取纠偏措施。

挣值的高频错误

• 用 AC 代替 EV 算完成比例：EV 必须用预算单价 × 实际完成量，不是”花了多少钱就算完成了多少”。这是最根本的错误。
• CV、SV 的正负号搞反：EV 在前，负值就是”不好”。
• EAC 该用哪种情形判断错：题干出现”偏差将持续””按当前绩效继续””照此趋势”→ 典型（BAC/CPI）；出现”剩余工作按计划完成””偏差是偶然的”→ 非典型（AC + BAC − EV）。没说明时默认典型。
• 把 VAC 算成 EAC − BAC：方向反了，VAC = BAC − EAC，负值表示超支。
• ETC 和 EAC 混淆：ETC 是”还要花”，EAC 是”总共要花”，EAC = AC + ETC。

例 6｜已知偏差反推当前进度

某项目 BAC = 800 万元，当前 CPI = 0.9，AC = 400 万元。求当前的 EV、CV，以及典型偏差下的 EAC。

解题过程

1. 由 CPI = EV / AC 反推：EV = CPI × AC = 0.9 × 400 = 360 万
2. CV = EV − AC = 360 − 400 = −40 万（超支）
3. EAC = BAC / CPI = 800 / 0.9 = 888.9 万（约 889 万）

**答案：**EV = 360 万，CV = −40 万，EAC ≈ 889 万元。
这类”反推题”的关键是把公式当方程用，已知两个量求第三个。不需要额外技巧。

四、风险计算：决策树与期望值

这部分计算量小、逻辑清晰，条件容易漏。核心是一个概念：用概率加权把不确定的多种结果折算成一个可比较的数字。

1. EMV 的含义

EMV = Σ（每种结果的概率 × 该结果的损益）
期望货币值。把所有可能结果按概率加权平均，得到一个”平均意义上”的结果

若方案有前期投入：EMV = Σ（概率 × 收益） − 投入成本
投入是确定要花的，无论成败都收不回，所以要减掉

为什么可以这样加权
假设同样的事做 1000 次：700 次成功，每次赚 600 万；300 次失败，每次赚 100 万。那么总收入大约是 1000 次的总和，平均到每次就是 0.7×600 + 0.3×100。

这就是期望值的全部含义：它描述的是”反复做同一决策”时的平均结果，不是某一次的具体结果。所以 EMV 适用于可重复的、有大量类似决策的场景；如果是一次性、不可重复的重大决策，只看 EMV 可能会误导——这是它的适用边界。

例 7｜决策树选方案

某项目有两个技术方案可选，另可选择不投标（收益为 0）：
· 方案 A：需投入 200 万元。成功概率 0.7，成功后收益 600 万元；失败概率 0.3，失败后收益 100 万元。
· 方案 B：需投入 80 万元。成功概率 0.9，成功后收益 200 万元；失败概率 0.1，失败后收益 40 万元。
用 EMV 判断应选择哪个方案。

图：决策树，从右往左算 EMV

解题过程

1. **先验概率之和是否等于 1。**方案 A：0.7 + 0.3 = 1 ✓；方案 B：0.9 + 0.1 = 1 ✓。
   这一步是检查题干有没有漏掉某种情形，考试里偶尔会故意给不完整的分支。
2. 算加权收益（先不减投入）。
   A：0.7×600 + 0.3×100 = 420 + 30 = 450 万
   B：0.9×200 + 0.1×40 = 180 + 4 = 184 万
3. 减掉各自投入。
   EMV(A) = 450 − 200 = 250 万
   EMV(B) = 184 − 80 = 104 万
4. **与”不投标”的 0 比较。**250 > 104 > 0，选 A。

答案：选择方案 A，其 EMV = 250 万元，高于方案 B 的 104 万元。
但：方案 A 的期望值更高，它有 30% 的概率只赚 100 万，扣掉投入后是亏损 100 万；方案 B 几乎稳赚。如果企业风险承受能力弱，可能仍选 B。EMV 是”平均最优”，不一定是”最稳”。

EMV 的坑

• 忘了减投入成本：直接拿 450 和 184 比，结论虽然一样，但数值全错，案例题按步给分就会丢分。
• 概率加起来不等于 1：说明还有分支没考虑，或题干给了”其余情况”需要自己算。
• 把损失当负数再减一次：如果某分支是”亏损 50 万”，它本身就是负数，直接乘概率参与求和即可，不要再额外做减法。

2. 风险曝光度

风险曝光度（风险值 / 期望损失）= 风险发生概率 × 风险造成的损失
用于给风险排序，本质和 EMV 是同一个乘法，只是不涉及收益

例 8｜风险排序

某项目识别出三个风险：R1 概率 30%、损失 200 万；R2 概率 80%、损失 50 万；R3 概率 10%、损失 800 万。按风险曝光度排序，哪个应优先应对？

解题过程

1. R1：0.3 × 200 = 60 万
   R2：0.8 × 50 = 40 万
   R3：0.1 × 800 = 80 万

**答案：**排序为 R3（80 万）> R1（60 万）> R2（40 万），R3 应优先应对。
注意：单看损失金额 R3 最大，单看概率 R2 最大，但只有乘积才能反映”综合威胁”。这正是期望值的意义。

五、沟通渠道数

公式极短，但每年都有人算错，原因多半是没想清楚”为什么除以 2”。

沟通渠道数 = n × (n − 1) / 2
n 为参与沟通的人数（含项目经理）

推导
n 个人，每个人都要和其他 n−1 个人建立一条沟通线路，于是有 n(n−1) 条。
但 A 和 B 之间的线路，在”从 A 数”和”从 B 数”时被数了两次，而它实际上只是同一条渠道。所以总数要除以 2。

这就是组合数 C(n,2) = n(n−1)/2：从 n 个人里任选 2 人构成一条渠道，无序。

例 9｜人员增加后的渠道增量

某项目团队原有 8 名成员，加上项目经理共 9 人。项目中期新增 3 名干系人参与沟通。沟通渠道增加了多少条？

解题过程

1. 原来 n = 9：9 × 8 / 2 = 36 条
2. 后来 n = 9 + 3 = 12：12 × 11 / 2 = 66 条
3. 增量 = 66 − 36 = 30 条

**答案：**增加 30 条沟通渠道，增幅约 83%。
这说明什么：人数只增加 33%，渠道数却涨了 83%——渠道数随人数呈平方级增长。这就是”项目越大，沟通成本越高、越容易失控”的数学依据，也是案例题里”项目规模扩大导致沟通问题”的标准解释。

这里容易错

• 人数漏算项目经理：题干说”团队 8 人”时，项目经理是否在内要看表述，多数情况下需要确认。
• 用增量人数算渠道：不能算 3×2/2，因为新人和老人之间也会产生渠道，必须用总数相减。
• 忘记除以 2：得到 132 而不是 66。

六、采购计算：合同与自制外购

合同计算只问一件事：成本超支的部分，由谁承担、承担多少。搞清分担比例，所有变体都能推。

1. 合同计价的基本结构

任何合同的价格都可以拆成两部分：

合同价格 = 实际成本 + 卖方利润（费用）
区别只在于：利润是固定的、按比例浮动的，还是被总价锁死的

一条主线
从左到右，成本风险从买方逐步转移到卖方。买方想要确定性（预算可控），就选总价合同；卖方愿意承担风险，就要在报价里加风险溢价。所以”范围越明确越适合总价合同”——范围清楚，卖方才敢锁定价格。

2. FPIF 的五步算法

这是计算题里最复杂的一类，但只要按固定顺序走，不会乱。题干通常给五个数：目标成本、目标利润、目标价格、分担比例、最高限价。

① 成本偏差 = 实际成本 − 目标成本
正数为超支，负数为节约

② 卖方分担额 = 成本偏差 × 卖方分担比例

③ 卖方利润 = 目标利润 − 卖方分担额
超支时利润减少，节约时利润增加

④ 计算价格 = 实际成本 + 卖方利润

⑤ 若计算价格 > 最高限价，则实际支付 = 最高限价

例 10｜FPIF 两种实际成本下的付款

某合同条款：目标成本 100 万元，目标利润 10 万元，目标价格 110 万元，成本超支/节约由买方承担 80%、卖方承担 20%，最高限价 130 万元。
分别求实际成本为 (1) 120 万元、(2) 140 万元时，买方应付金额与卖方实际利润。

情形（1）实际成本 120 万元

1. 成本偏差 = 120 − 100 = +20 万（超支）
2. 卖方分担 = 20 × 20% = 4 万
3. 卖方利润 = 10 − 4 = 6 万
4. 计算价格 = 120 + 6 = 126 万
5. 126 < 130（最高限价），未封顶，实际支付 126 万

买方支付 126 万元，卖方利润 6 万元。

情形（2）实际成本 140 万元

1. 成本偏差 = 140 − 100 = +40 万（超支）
2. 卖方分担 = 40 × 20% = 8 万
3. 卖方利润 = 10 − 8 = 2 万
4. 计算价格 = 140 + 2 = 142 万
5. 142 > 130（最高限价），触发封顶，实际支付 130 万
6. 卖方实际利润 = 支付额 − 实际成本 = 130 − 140 = −10 万（亏损）
   注意此时不能再用”目标利润 − 分担额”算利润，因为封顶后分担比例已经失效。

买方支付 130 万元（封顶），卖方实际亏损 10 万元。

最高限价的意义
在情形（2）里，如果没有限价，买方要付 142 万；有了限价，买方最多付 130 万，超额部分全部由卖方吞下。这就是”最高限价保护买方”的具体体现——它把卖方在极端超支情况下的风险敞口锁死了。

实务含义：卖方在投标时如果判断自己可能大幅超支，就必须在报价里预留风险溢价，否则一旦触顶就是纯亏。

3. CPIF 与 CPFF 的对比

例 11｜同一实际成本，三种合同谁付得多

某项目目标成本 100 万、目标费用 10 万。实际成本为 90 万（节约 10 万）。分别按 CPFF（固定费 10 万）、CPIF（节约部分买卖双方 70%:30% 分成）计算买方支付额。

解题过程

1. CPFF：费用固定为 10 万，与成本无关。
   支付 = 90 + 10 = 100 万。卖方利润始终是 10 万，节约的好处全归买方。
2. **CPIF：**节约 10 万，卖方分得 30% = 3 万。
   费用 = 10 + 3 = 13 万，支付 = 90 + 13 = 103 万。

对比：CPFF 下买方付 100 万，CPIF 下买方付 103 万，多付 3 万。
这 3 万是激励成本——买方用 3 万元换来了卖方主动控成本的动力。CPFF 下卖方省成本没有好处，缺乏节约动机，这是 CPFF 最大的缺点。

4. 自制或外购分析

自制和外购比的是两条成本曲线：自制有固定投入（设备、模具、人员），但单位变动成本低；外购没有固定投入，但单价高。两者交叉的地方就是决策分界点。

自制总成本 = 固定成本 + 单位变动成本 × 数量

外购总成本 = 外购单价 × 数量

令两者相等，解出 平衡点数量 = 固定成本 / (外购单价 − 单位变动成本)
分母是”每自制一件比外购省多少钱”

图：自制与外购的成本平衡点

例 12｜自制还是外购

某项目需用某部件。自制需投入设备与模具共 60 万元，每件变动成本 80 元；外购单价 200 元。需求量分别为 3000 件和 8000 件时，分别应自制还是外购？

解题过程

1. 平衡点 = 固定成本 / (外购单价 − 单位变动成本) = 600000 / (200 − 80) = 600000 / 120 = 5000 件
2. 验证 3000 件：
   自制 = 600000 + 80×3000 = 84 万；外购 = 200×3000 = 60 万 → 外购更省 24 万
3. 验证 8000 件：
   自制 = 600000 + 80×8000 = 124 万；外购 = 200×8000 = 160 万 → 自制更省 36 万

答案：平衡点 5000 件。需求 3000 件时外购；需求 8000 件时自制。
**规模决定结论：**固定成本是一次性的，量越大，摊到每件上的固定成本越薄，自制的单位成本优势才显现出来。”要不要自己建能力”这类决策，先要看的是规模。

七、投资与财务计算

这部分属于项目立项与可行性研究，中项考得不深，但三个指标（回收期、NPV、ROI）几乎每年出现在选择题里。

1. 投资回收期

问的是”多久能把投进去的钱赚回来”。静态回收期不考虑资金时间价值，动态回收期考虑（把未来现金流折现后再算）。

静态投资回收期 = 累计净现金流由负转正的那一年 − 1 + 上年累计未回收额 / 当年净现金流
即整年数 + 零头那一年的比例

例 13｜静态回收期

某项目初始投资 1000 万元，投产后第 1～4 年净现金流分别为 300、400、500、300 万元。求静态投资回收期。

解题过程

1. 列累计净现金流。
   第 1 年：−1000 + 300 = −700
   第 2 年：−700 + 400 = −300
   第 3 年：−300 + 500 = +200　→ 在第 3 年转正
2. 第 2 年末还差 300 万没收回，第 3 年全年能收 500 万。
   零头 = 300 / 500 = 0.6 年
3. 回收期 = 2 + 0.6 = 2.6 年

**答案：**静态投资回收期 2.6 年（约 2 年 7 个月）。

2. 净现值 NPV

NPV 回答的是”这个项目按今天的钱算，到底赚不赚”。核心思想：明年的 100 万不如今天的 100 万值钱，所以要按折现率把未来现金流换算成今天的价值，再减去投入。

NPV = Σ [ 第 t 年净现金流 / (1 + 折现率)^t ] − 初始投资
NPV > 0 表示项目收益超过要求回报率，可接受；NPV < 0 表示达不到要求，应拒绝

为什么要折现
折现率可以理解成”你的钱本来能赚到的收益率”。如果这笔钱不投这个项目，拿去做别的能赚 10%，那么项目必须比”赚 10%”更好才值得做。折现就是把未来的钱按这个机会成本打折，折算成”今天的等价金额”，这样不同时间点的钱才能直接相加减。

例 14｜NPV 计算与动态回收期

承接例 13，折现率 10%。求各年折现现金流、累计 NPV，并判断项目是否可行、动态回收期约多长。

解题过程

1. **逐年折现：**第 t 年的现金流除以 (1.1)^t。
   第 1 年：300 / 1.1 = 272.73
   第 2 年：400 / 1.21 = 330.58
   第 3 年：500 / 1.331 = 375.66
   第 4 年：300 / 1.4641 = 204.90
2. **累加判断转正点。**第 3 年末累计 −21.03，第 4 年末 +183.87，在第 4 年转正。
   NPV（4 年）= +183.87 万元 > 0，项目可行。
3. 动态回收期 = 3 + 21.03 / 204.90 = 3 + 0.10 = 3.10 年

**答案：**NPV ≈ 183.87 万元（正值，可行）；动态回收期约 3.1 年。
**对比：**静态回收期 2.6 年，动态回收期 3.1 年，动态总是更长——因为折现让未来的钱”缩水”了。这个大小关系是固定的，可以用来快速检查答案。

NPV 的坑

• 折现系数用错年份：第 1 年除以 1.1 的一次方，不是零次方。初始投资发生在第 0 年，不折现。
• 折现率越高，NPV 越小：这是反向关系，选择题常问”折现率上升对 NPV 的影响”。
• NPV 与 IRR 的判断一致性：单项目决策时两者结论一致；多项目互斥比较时，以 NPV 为准。

3. 投资收益率 ROI

ROI = (总收益 − 总成本) / 总成本 × 100%
也叫投资回报率，衡量单位投入赚了多少，不考虑时间价值

例 15｜ROI

某项目投入 500 万元，三年累计净收益 200 万元。求 ROI。

解题过程

1. ROI = 200 / 500 × 100% = 40%

**答案：**ROI = 40%，即每投入 1 元，三年共赚回 0.4 元。

八、综合案例演练

真实考试中，进度和成本不会分开考。下面这道题把前面几节串起来，形态接近案例分析真题。

综合题｜进度 + 成本联合分析

某市政务云平台集成项目，合同工期 10 个月，总预算 BAC = 1000 万元。项目执行到第 5 个月末时，项目经理统计得到：按计划应完成 50% 的工作量，实际完成 40%，已发生实际成本 450 万元。

请回答：
（1）计算 PV、EV、AC，以及 CV、SV、CPI、SPI，并说明项目当前状态。
（2）若当前偏差将持续到项目结束，预测 EAC、VAC 和项目完工时间。
（3）计算按原预算完工所需的 TCPI，并说明其含义。
（4）若客户要求必须按原定 10 个月完工，项目经理应重点压缩哪类活动？为什么？
（5）针对当前局面，列出至少三项可行的纠偏措施。

解答

1. 第（1）问：三个量与四个指标。
   PV = 50% × 1000 = 500 万
   EV = 40% × 1000 = 400 万
   AC = 450 万
   CV = EV − AC = 400 − 450 = −50 万（超支）
   SV = EV − PV = 400 − 500 = −100 万（落后）
   CPI = 400 / 450 ≈ 0.889
   SPI = 400 / 500 = 0.8
   **状态判断：**成本超支、进度落后，属于”双失控”——这是最难处理的组合，因为赶工往往还要多花钱。
2. 第（2）问：典型偏差预测。
   EAC = BAC / CPI = 1000 / 0.889 ≈ 1125 万
   VAC = BAC − EAC = 1000 − 1125 = −125 万（预计超支 125 万）
   完工时间 = 10 / SPI = 10 / 0.8 = 12.5 个月（延期 2.5 个月）
3. 第（3）问：TCPI。
   TCPI = (BAC − EV) / (BAC − AC) = (1000 − 400) / (1000 − 450) = 600 / 550 ≈ 1.09
   **含义：**剩余阶段每花 1 元，必须干出 1.09 元的活，才能按原预算收尾。对比当前 CPI 只有 0.889，效率需要提升约 23%，难度较大但不至于完全不可能。
4. 第（4）问：压缩对象。
   必须压缩关键路径上的活动。原因：项目总工期由最长路径（关键路径）决定，压缩非关键活动不会缩短总工期，只会白白增加成本、消耗浮动时间。
   具体做法：在关键路径上选择赶工成本斜率最低的活动优先压缩；每压一天都要重新检查关键路径是否转移，若出现多条关键路径则需同时压缩。
5. 第（5）问：纠偏措施（开放题，答出要点即可）。
   ① **进度方面：**对关键活动采取赶工（增加资源、加班）或快速跟进（并行施工，需评估返工风险）。
   ② **成本方面：**分析超支原因，重点控制后续采购与人力成本，必要时调整资源结构（用低成本资源替代高成本资源）。
   ③ **范围方面：**与客户沟通，通过变更控制流程缩减非核心功能或分阶段交付，保住关键里程碑。
   ④ **管理方面：**加强变更控制，防止范围蔓延进一步推高成本；建立更密集的进度与成本监控（缩短检查周期）。
   ⑤ **风险方面：**更新风险登记册，对可能导致进一步延期的风险制定应对预案。

答案汇总：PV=500 万、EV=400 万、AC=450 万；CV=−50 万、SV=−100 万、CPI≈0.889、SPI=0.8，项目成本超支且进度落后；EAC≈1125 万、VAC=−125 万、预计 12.5 个月完工；TCPI≈1.09，剩余阶段效率需提升约 23%；压缩应针对关键路径活动，按成本斜率由低到高依次赶工，并持续监控关键路径转移。

九、答题规范与自查

同样的计算，写法和检查习惯会直接决定拿多少分。案例题按步给分，只写最终答案往往只能拿到部分分。

1. 书写格式

2. 算完必做的五项检查

• **关键路径与路径和是否一致：**正推得到的项目工期，应该等于手工枚举出的最长路径长度。两者不符，说明某处算错了。
• **EV 是否介于 0 和 BAC 之间：**超过 BAC 说明完成比例算错，为负说明逻辑反了。
• **CPI、SPI 是否在合理范围：**通常在 0.5～1.5 之间。算出 3.0 或 0.1 这种极端值，八成是分子分母颠倒。
• **概率是否落在 0～1：**算出负数或大于 1，说明 z 值方向或公式用错。
• **量纲是否统一：**万元和元、月和天不能混着算。这是案例题最常见的低级错误。

3. 三轮练法

计算题不需要大量刷题，但需要”每类题吃透一道”：

• 第一遍：照着例题的步骤，自己动手把数字算一遍，不看答案。算错了回头看是哪一步的理解偏了。
• 第二遍：把例题的题干改几个数字，重新算。如果结论跟着合理变化（比如 SPI 变大则预测工期变短），说明变量之间的关系已经清楚。
• 第三遍：做近五年真题里的计算题，只做不背。重点看命题人怎么描述”偏差是否持续””是否含项目经理”这类关键条件。

一个判断标准
能不能不看材料，向别人解释清楚”为什么 EAC = BAC/CPI”，以及”为什么三点估算的标准差不能直接相加”。能讲清这两条，公式就不依赖记忆了；考场上即使一时想不起，也能在两分钟内推出来。

其他软考中项知识点，可续看：

A04【项目管理】软考中项知识点集锦（十大管理领域版）

A05【项目管理】软考中项-项目管理图表速查手册